ejercicios resueltos

Enunciado 1

Estudiar si la relación definida en Z = {enteros} por aRb problemas resueltos de álgebra básicaa + b múltiplo de 2, es de equivalencia y determinar el conjunto cociente en caso de que lo sea

Estudiar si la relación definida en Z = {enteros} por aRb problemas resueltos de álgebra básica a + b múltiplo de 2, es de equivalencia y determinar el conjunto cociente en caso de que lo sea.

Respuesta 1

Para comprobar que la relación anterior es de equivalencia hacemos :

Propiedad reflexiva problemas resueltos de álgebra básica, ya que a+a = 2 a que es múltiplo de 2.

Propiedad simétrica : Si aRb entonces a+b es múltiplo de 2, pero a+b = b+a y, por lo tanto b+a es múltiplo de 2, esto es bRa.

Propiedad transitiva : Si aRb y bRc entonces a+b es múltiplo de 2 y b+c es múltiplo de 2. De ahí a+b+b+c = a + 2b + c es múltiplo de 2 y trivialmente a+c es múltiplo de 2 puesto que 2b siempre es múltiplo de 2. Por todo ello, aRc.

La relación así definida si es de equivalencia y el conjunto cociente es Z/R = {pares , impares}


Enunciado 2

Comprobar que la relación definida en RxR de la forma (a,b)R(c,d) problemas resueltos de álgebra básica a2 + b2 = c2 + d2 es de equivalencia y representar gráficamente el conjunto cociente RxR/R.

Comprobar que la relación definida en RxR de la forma (a,b)R(c,d) problemas resueltos de álgebra básica a2 + b2 = c2 + d2 es de equivalencia y representar gráficamente el conjunto cociente RxR/R.

Respuesta 2

Comprobamos que es relación de equivalencia :

Propiedad reflexiva :

problemas resueltos de álgebra básica

Propiedad simétrica : Si (a,b)R(c,d) entonces (c,d)R(a,b) puesto que :

problemas resueltos de álgebra básica

Propiedad transitiva : Si (a,b)R(c,d) y (c,d)R(e,f) entonces (a,b)R(e,f) puesto que :

problemas resueltos de álgebra básica

La relación definida de ese modo en RxR es de equivalencia y el conjunto cociente RxR/R será el formado por las circunferencias del plano con centro en el origen.